Gauss-Jordan.

Algoritmo de Gauss-Jordan.
Se denomina matriz escalonada a una matriz en la que las filas posteriores
a una fila cuyos elementos son todos ceros, tienen todos sus elementos igual
a cero, y el n´umero de elementos nulos al comienzo de cada fila no nula es
estrictamente menor que en la siguiente.
Teorema 1.1 Dada una matriz cualquiera A 2 Rm×n existen matrices F y
U tales que FA = U siendo U una matriz escalonada.
Demostraci´on. Probaremos el teorema de forma constructiva.
a) Si a11 6= 0, mediante transformaciones elementales filas Fij( ) podemos
anular todos los elementos de la primera columna, salvo el a11. Estas
transformaciones ser´ıan de la forma Fi1(−
ai1
a11
).
b) Si a11 = 0 y alg´un elemento de la primera columna es no nulo, podemos
llevarlo al lugar (11) mediante una transformaci´on Fij y proceder despu´es
como en el caso anterior.
c) Si ai1 = 0 8 i = 1, . . . , m, la primera columna es de ceros y por tanto,
ai1 = 0 8 i > 1, es decir, se trata de una columna del tipo de las matrices
escalonadas.
Procedemos despu´es con a22 (el elemento a22 resultante de las transformaciones
anteriores) al igual que procedimos con a11 anteriormente, es decir, si a22 6= 0
lo utilizamos para hacer ceros por debajo de ´el en la segunda columna. Si
fuese a22 = 0 vemos si existe por debajo de ´el alg´un elemento ai2 6= 0 y, en
caso de haberlo, realizamos la transformaci´on F2i, etc.
Reiterando el proceso, llegamos a una matriz escalonada U. La matriz F
no es m´as que el producto de las matrices de las transformaciones elementales
filas realizadas para pasar de A a U.
El siguiente organigrama, muestra el algoritmo de escalonamiento de una
matriz A 2 Rm×n, mediante transformaciones elementales filas. Cuando se
alcanza la condici´on de parada, la nueva matriz A es escalonada.
Algoritmo de Gauss-Jordan. 11
Algoritmo de escalonamiento de una matriz.
Ejemplo 1.7 Consideremos la matriz A del Ejemplo 1.1.
A
F21(−2)
−!
0
@
2 1 3 4
0 0 −5 −3
1 0 2 3
1
A F31(−1
2 )
−!
0
@
2 1 3 4
0 0 −5 −3
0 −1/2 1/2 1
1
A F23 −!
0
@
2 1 3 4
0 −1/2 1/2 1
0 0 −5 −3
1
A = U
siendo U una matriz escalonada. Dado que
E23E31(−
1
2
)E21(−2)A = U =) FA = U
con
F = E23E31(−
1
2
)E21(−2) =
0
@
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1
A
0
@
1 0 0
0 1 0
−1/2 0 1
1
A
0
@
1 0 0
−2 1 0
0 0 1
1
A )
12 Matrices y determinantes
F =
0
@
1 0 0
−1/2 0 1
−2 1 0
1
A

Se denomina forma escalonada can´onica a una matriz escalonada con la
propiedad de que el primer elemento no nulo de una fila es un uno y adem´as,
es el ´unico elemento no nulo de su columna.
Teorema 1.2 Toda matriz puede ser reducida mediante transformaciones elementales
fila a una escalonada can´onica.
Demostraci´on. Basta con observar que una vez obtenida la matriz U, si en
una fila hay alg´un elemento no nulo, la dividimos por el primer elemento no
nulo de ella mediante Fi( ) y lo utilizamos para hacer ceros todos los de su
columna (que se encontrar´an por encima de ´el).
Ejemplo 1.8 En el Ejemplo 1.7 se vi´o que
A −! U =
0
@
2 1 3 4
0 −1/2 1/2 1
0 0 −5 −3
1
A F1( 1
2 )
−!
0
@
1 1/2 3/2 2
0 −1/2 1/2 1
0 0 −5 −3
1
A F2(−2)
−!
0
@
1 1/2 3/2 2
0 1 −1 −2
0 0 −5 −3
1
A F12(−1
2 )
−!
0
@
1 0 2 3
0 1 −1 −2
0 0 −5 −3
1
A F3(−1
5 )
−!
0
@
1 0 2 3
0 1 −1 −2
0 0 1 3/5
1
A
F13(−2)
−!
0
@
1 0 0 9/5
0 1 −1 −2
0 0 1 3/5
1
A F23(1)
−!
0
@
1 0 0 9/5
0 1 0 −7/5
0 0 1 3/5
1
A
que se trata de una escalonada can´onica.
Los elementos que utilizamos para anular a los dem´as elementos de una
columna se denominan pivotes. Si en un determinado paso del proceso de
pasar de A a U alguna columna es de ceros, diremos que el correspondiente
pivote es nulo.
Teorema 1.3 Toda matriz A 2 Rm×n puede, mediante transformaciones elementales,
transformarse en una del tipo

Ir 0
0 0

Algoritmo de Gauss-Jordan. 13
teniendo en cuenta que para ello es necesario realizar tanto transformaciones
fila como transformaciones columna.
Ejemplo 1.9 Si nos fijamos en la matriz del Ejemplo 1.7 que transformamos,
mediante transformaciones elementales fila (ver Ejemplo 1.8) en la escalonada
can´onica 0
@
1 0 0 9/5
0 1 0 −7/5
0 0 1 3/5
1
A
podemos ahora, mediante la composici´on de las transformaciones columna
C41(−9
5 )C42( 7
5 )C43(−3
5 ) llevarla a
0
@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1
A =
􀀀
I3 | 0

.
Teorema 1.4 Una condici´on necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada
posea inversa es que su forma escalonada can´onica sea la matriz unidad.
Demostraci´on. Si su forma escalonada can´onica es In, existe F 2 Rn×n tal
que FA = In =) F = A−1.
Si existe A−1 tal que A−1A = In =) 9 F = A−1 tal que FA = In y por
tanto, In es la forma escalonada can´onica de A.
Este teorema nos permite calcular la matriz inversa, de una matriz dada,
mediante transformaciones elementales (filas o columnas, pero no ambas simult
´aneamente), es decir, aplicando el Algoritmo de Gauss-Jordan tomando
como matriz inicial(A | In)
Ejemplo 1.10 Consideremos la matriz A =
0
@
1 3 0
0 1 1
1 2 0
1
A
(A | I3) =
0
@
1 3 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 2 0 0 0 1
1
A F31(−1)
−!
0
@
1 3 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
0 −1 0 −1 0 1
1
A F12(−3)
−!
0
@
1 0 −3 1 −3 0
0 1 1 0 1 0
0 −1 0 −1 0 1
1
A F32(1)
−!
0
@
1 0 −3 1 −3 0
0 1 1 0 1 0
0 0 1 −1 1 1
1
A F13(3)
−!
14 Matrices y determinantes
0
@
1 0 0 −2 0 3
0 1 1 0 1 0
0 0 1 −1 1 1
1
A F23(−1)
−!
0
@
1 0 0 −2 0 3
0 1 0 1 0 −1
0 0 1 −1 1 1
1
A =)
A−1 =
0
@
−2 0 3
1 0 −1
−1 1 1
1
A
ya que: F23(−1)F13(3)F32(1)F12(−3)F31(−1)(A) = I3 =)
[E23(−1)E13(3)E32(1)E12(−3)E31(−1)]A = I3 =)
0
@
−2 0 3
1 0 −1
−1 1 1
1
AA = I3 )
A−1 =
0
@
−2 0 3
1 0 −1
−1 1 1
1
A

1.5 Determinante de una matriz cuadrada.
Los determinantes nos proporcionan un m´etodo para el c´alculo de la matriz
inversa de una dada (en caso de existir) y un criterio para estudiar si una
matriz es o no invertible.
Sus aplicaciones son m´ultiples en todas las ramas de las ciencias que tratan
problemas lineales en los que necesariamente aparecen matrices y por tanto,
determinantes.
1.5.1 Definiciones.
Sea A = (aij) una matriz cuadrada de dimensi´on n. A cada matriz cuadrada
A se le asigna un n´umero real que llamaremos determinante de A y representaremos
por det(A) o |A|. Su c´alculo se obtiene mediante la siguiente f´ormula
recurrente sobre el tama˜no n:
• para n = 1 ! A = (a11), se define det(A) = a11
• para n > 1 ! det(A) =
Xn
i=1
akiAki